venerdì 5 marzo 2010

L'infinito nelle opere di Escher

“O Dio! Potrei essere confinato in un guscio di noce e stimarmi re di uno spazio infinito, se non fosse che faccio brutti sogni”. Cit.

Abbiamo già parlato del problema della suddivisione del piano nelle opere di Escher e della ripetizione di motivi, identici uno all’altro eccezion fatta per il colore. Nello Studio di divisione regolare del piano con rettili, l’autore, così commenta: “Che cosa è stato realizzato con l’ordinata suddivisione della superficie .....? Non ancora il vero infinito, ma comunque un frammento di esso, un pezzo dell’universo dei rettili. Se la superficie in cui essi si inseriscono fosse infinitamente grande, un numero infinito di essi potrebbe esservi rappresentato”. Si tratta di un chiaro desiderio di rappresentare l’infinito, che l’ha condotto ad un ulteriore studio sistematico, senza prescindere dall'influenza dei matematici dell’epoca.
In un saggio del 1959, “L’approccio all’infinito”, Escher scrive:
“Quando ci si tuffa nell'infinito, sia spaziale che temporale, sono necessari dei punti fissi, delle pietre miliari, altrimenti il movimento è simile all'immobilità. Ci si deve orientare con le stelle, che fanno da segnale per misurare la strada percorsa. Si deve suddividere l'universo in unità di una certa lunghezza, in compartimenti che si ripetono in una successione infinita. Quando si attraversa il confine tra questi compartimenti, l'orologio fa tic tac.
Chiunque voglia creare un universo su una superficie bidimensionale (e si inganna, perché nel nostro mondo tridimensionale non può esistere una realtà né a due né a quattro dimensioni) noterà che, mentre esegue un'opera d'arte, il tempo scorre. Quando avrà finito e osserverà ciò che ha fatto, vedrà qualcosa di statico e senza tempo: nella sua rappresentazione non vi sono orologi che fanno tic tac; è visibile soltanto una distesa piatta, senza moto...
Il ticchettio dinamico e regolare dell'orologio che, nel nostro viaggio nello spazio, ci accompagnava quando attraversavamo ogni confine, ora tace; possiamo rimetterlo in moto, a livello statico, con la ripetizione periodica di figure congruenti sul foglio da disegno; disegneremo forme chiuse e confinanti che si definiscono reciprocamente e riempiono il piano in ogni direzione fino a dove lo si desideri.”
Per catturare l’infinito e rinchiuderlo in una composizione chiusa, Escher evitava di troncare brutalmente la ripetizione dei motivi periodici, cercando di dare il più possibile l’idea di una estensione senza limiti. Un primo esempio di questo tipo di ricerca è Sempre più piccolo:


Si tratta di una xilografia in cui vengono rappresentati dei rettili che diventano sempre più piccoli man mano che ci si sposta dall’esterno verso il centro. “La bisezione delle figure è stata portata all’assurdo. L’animale più piccolo avente ancora una testa, una coda e quattro zampe, è lungo circa 2 mm. Dal punto di vista della composizione questo lavoro è solo in parte soddisfacente” (E. C. Escher).
In seguito, avvenne l’incontro con il matematico H. S. Macdonald Coxeter, che gli fece conoscere il modello di Poincarè del piano iperbolico (nello spazio iperbolico si definisce una geometria che soddisfa i primi quattro assiomi di Euclide ma non il quinto. Vedi anche: l’inversione circolare e il modello di piano iperbolico di Poincarè).
Frutto di questo incontro furono le xilografie: Cerchio limite I, II, III, IV.

Cerchio limite IV

In esse, “il limite dell’infinitamente numeroso e dell’infinitamente piccolo viene raggiunto sul bordo circolare” (Locker , 1978, pag.39). Si tratta essenzialmente delle due definizioni di infinito: l'infinito potenziale e l'infinito in atto. Un esempio di infinito potenziale può essere la successione di numeri naturali: 0, 1 , 2, 3, 4, 5, … ; detto in altri termini, ogni numero ne ha un altro che gli fa seguito e non esiste un numero maggiore di tutti gli altri numeri. Tale successione numerica procede “a scatti” mentre l’infinito in atto, deriva da un’estensione continua, come un segmento composto da infiniti punti. In questo caso si ha a che fare non con l’infinitamente grande ma con l’infinitamente piccolo, concetto che diventerebbe più chiaro se immaginassimo di dividere il segmento più volte, all’infinito. Consideriamo ad esempio un segmento AB, possiamo dividerlo in due trovando il punto medio C tra i due estremi, poi trovare il punto medio D tra C ed A, poi il punto medio E tra D ed A, e così via "all’infinito". Ogni volta che abbiamo due punti distinti, infatti, possiamo trovare un terzo punto, diverso e medio tra essi.
Pur essendo infinito, il segmento di partenza lo possiamo vedere nella sua interezza, a differenza dell’insieme dei numeri interi naturali di cui non vediamo che alcuni elementi (freewebs.com/moebiusring). In questo senso, il segmento è visto come un infinito in atto, percepibile visivamente nella sua interezza ma non nelle sue infinite componenti. La retta, che è un altro ente primitivo di lunghezza infinita, è solo “parzialmente” percepibile e disegnabile (vedi: emt.it/broca/broca81/ricci).

La xilografia I cavalieri è un altro tentativo di catturare l’infinito sfruttando l’idea di ciclo o di anello chiuso; in essa prende atto una processione di figure che danno l’idea di un movimento, lento e ripetitivo (un tentativo di inserire il concetto di tempo). In queste stampe aggiunge l’illusione di tridimensionalità all’immagine bidimensionale: l’immagine e la divisione regolare sono nel piano, ma le figure prendono vita e si muovono per completare i loro cicli.


Per concludere, vi segnalo questo fantastico video che propone le opere di Escher in 3D: CINEMA 4D - MC Escher's Artworks in 3D e sempre a proposito di 3D vi segnalo Il nonno di Avatar su Rangle.

Vedi anche: “Fare matematica” con le opere di M.C.Escher di Paola Vighi
Dipartimento di Matematica, Università di Parma.

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