domenica 28 febbraio 2010

Simmetrie e arti visive

Un pò di tempo fa, mi ero soffermata (in maniera non molto approfondita) sulla figura del matematico francese Evariste Galois, il giovane ventenne che introdusse il concetto della Teoria dei Gruppi, linguaggio ufficiale della simmetria, partendo dall'improbabile presupposto di un'equazione che non poteva essere risolta.

Il termine "simmetria" deriva dal greco syn e metria che tradotto significa "la stessa misura". Il concetto greco di simmetria corrispondeva al nostro concetto di "proporzione". La simmetria era infatti vista come una corrispondenza tra le misure degli elementi di un'opera d'arte e dell'intera opera stessa con una determinata porzione scelta come modello.
Nel XVIII sec. si introdusse la moderna definizione di simmetria, intesa come "immunità a un possibile cambiamento". Oppure, secondo il matematico H. Weyl: "una cosa è simmetrica se c'è qualcosa che puoi farle in modo che, quando hai finito di farlo, sembra uguale a prima".
Nell'esperienza comune, si fa molto spesso coincidere il concetto di simmetria con quello di "simmetria bilaterale"; in questo senso, la definizione diventa: "corrispondenza di dimensioni, forma e relativa posizione fra le parti sui lati opposti di una linea divisoria o piano mediano" (Webster's Third New International Dictionary). Definizione che si allaccia alla descrizione matematica della simmetria speculare.
Consideriamo ad esempio il disegno di una farfalla bilateralmente simmetrica e tracciamo una linea retta nel mezzo della figura. Piegando il disegno, mentre si tiene ferma la linea centrale, si ottiene una sovrapposizione perfetta delle due metà che compongono la farfalla. In altri termini, si può dire che la farfalla è "invariante per riflessione rispetto alla sua linea centrale".
La simmetria speculare, così comune nel regno animale, può essere riconosciuta in alcune lettere maiuscole dell'alfabeto, simmetriche rispetto alla riflessione in uno specchio: A, H, I, M, O, T, U, V, W, X, Y. Parole e frasi scritte usando solo queste lettere e stampate verticalmente, come ad esempio:
Y
O
U

M
A
Y

W
A
X

I
T

T
I
M
O
T
H
Y

restano immutate se riflesse in uno specchio (pag.23, L'equazione impossibile). Le lettere: B, C, D, E, H, I, K, O, X, invece, sono simmetriche per riflessione rispetto all'asse orizzontale, detta anche "invarianza per riflesso sull'acqua". Le lettere a simmetria centrale (che corrisponde all'invarianza rispetto ad una rotazione di 180°) sono: H, I, N, O, S, X, Z. (fonte: Paolo Beneforti).
Al di là della simmetria speculare, riconoscibilissima in natura, molto sfruttata per fare simpatici giochi di parole e, alla base delle nostre valutazioni estetiche, ci sono quindi altre simmetrie, come la simmetria traslazionale, la rotazionale e le combinazioni di queste trasormazioni, come ad esempio, la riflessione seguita da una rotazione.

Il motivo periodico ricorrente è un altro pattern simmetrico molto comune e facilmente riconoscibile nelle arti visive e nella musica.
La trasformazione di simmetria che porta a schemi ripetuti o a motivi ricorrenti, è la traslazione, che consiste in uno spostamento di un determinato oggetto lungo una linea.
Numerosissime forme d'arte, come i fregi dei templi greci, le piastrelle moresche o le opere di M.C. Escher, sono esempi di simmetria traslatoria.
In particolar modo, le opere di Escher, sono una dimostrazione del legame esistente tra la simmetria, intesa in senso matematico, nella connotazione formale della Teoria dei Gruppi, e l'arte. Il lavoro teorico che c'è alla base di molte delle opere dell'incisore olandese è semplicemente stupefacente, e credo che valga la pena soffermarsi un pò e spenderci qualche parola.
I lavori di Escher partono dalla "divisione regolare del piano" e si sviluppano su un gioco a incastro stile puzzle, in cui i temi ricorrenti sono solitamente rappresentati da uccelli, farfalle, lucertole e pesci.

Day and Night, 1938, M.C. Escher.

I disegni periodici di Escher hanno captato l'interesse degli scienziati, in quanto vere e proprie lezioni di simmetria (nel caso di Escher, dobbiamo ricordare l'importanza della simmetria di colore*).
Fu infatti invitato a tenere una conferenza, in occasione del quinto convegno dell'Associazione Internazionale di Cristallografia (1960), a Cambridge, in Inghilterra. In quella stessa occasione, fu allestita una mostra e la professoressa C.H. MacGillavry si occupò di redigere un manuale per gli studenti, una sorta di vademecum per la comprensione delle opere esposte.
L'introduzione al volume, pubblicato nel 1965, recita: "Numerosi disegni periodici di Escher si basano sui principi della simmetria di colore, il cui aspetto più semplice - il cosiddetto bianco e nero o antisimmetria - è stato introdotto nella letteratura cristallografica attorno agli anni Trenta, nel corso di un convegno sui cristalli liquidi..... .
Il quaderno in cui egli ha esposto la sua "teoria profana" è stato per me una rivelazione. In pratica, contiene tutti i gruppi bidimensionali di 2, 3, 4 e 6 colori con rotazione, con e senza simmetria di scorrimento.... .
".
Come già accennato, i lavori di Escher, sono il frutto di una lunga preparazione teorica. In particolar modo, l'articolo di un professore ungherese: "Uber die Analogie der Kristallsymmetrie in der Ebene" ("Sull'analogia della simmetria dei cristalli nel piano"), del 1924, e quello di un professore tedesco, che spiegava in che modo ottenere una divisione regolare del piano ("la divisione regolare del piano consiste nel riunire insieme poligoni convessi congruenti; l'ordine col quale i poligoni diventano adiacenti rimane identico nell'intero piano..."), furono due importanti fonti di ispirazione che lo aiutarono a comprendere diversi concetti che, fino a quel momento, aveva applicato in maniera quasi inconsapevole (c'è da dire che proseguendo nelle sue ricerche, Escher si rese conto che la limitazione ai soli poligoni convessi non era affatto necessaria. Si potevano ottenere configurazioni regolarmente ripetute tramite l'utilizzo di curve e segmenti a zigzag o forme "striscianti o volanti").
Il professore ungherese era George Pòlya, docente all'Istituto Federale Svizzero di Tecnologia. Nell'articolo del 1924, Pòlya scriveva: "nel piano, le sequenze che ripetono regolarmente una figura si possono classificare in alcuni gruppi di simmetria, comunque non superiori a 17".

Pòlya 17 symmetries. Dimostrazioni visive del modo in cui forme o tasselli congruenti possono combaciare per soddisfare i criteri di classificazione di un particolare gruppo.

I vari percorsi che Escher ha seguito per arrivare alla costruzione dei suoi disegni sono raccolti in una serie di quaderni a quadretti, valido aiuto per tracciare con maggiore facilità le griglie dei tasselli elementari delle sue figure.

Pochi e semplici spostamenti geometrici mostrano come si può muovere una figura in una nuova posizione e riprodurla:

"Le quattro isometrie del piano, trasformazioni geometriche che conservano esattamente la forma e le dimensioni. La traslazione fa slittare in modo identico tutte le figure; il vettore v indica la direzione e la distanza dello slittamento. La riflessione trasforma le figure in immagini speculari attorno a una retta m (l'asse di riflessione) che funge da specchio: il lato destro e quello sinistro di un pesce sono immagini speculari l'uno dell'altro.
La simmetria di scorrimento è una trasformazione in due gradi: una traslazione lungo un vettore v viene seguita da una riflessione attorno a un asse m, parallelo a v. La rotazione fa girare le figure attorno a un punto fisso O (centro di rotazione): una lucertola ruota di 90° sull'altra."
(Visioni della simmetria, cap.1, pag.34).

Ci sarebbero ancora tantissime cose da dire sull'arte di Escher (il rapporto con l'infinito, l'estensione di una superficie bidimensionale in uno spazio tridimensionale come il Nastro di Mobius, ecc.) ma le affronteremo in un'altra occasione (chissà quante persone arriveranno alla fine di questo post...forse ho esagerato...). Ma ci sarebbero ancora più cose da dire sulla simmetria e sui diversi esempi di simmetria traslatoria nella musica...ma questa, è un'altra storia!

*vedi: http://scienze-como.uninsubria.it/masciocchi/pdf/strutturistica02.pdf

Bibliografia:
- L'Equazione impossibile, di Mario Livio
- Visioni della Simmetria, di Doris Schauschneider.

4 commenti:

  1. Ciao Lucy ricambio la visita e i complimenti al tuo Blog.

    Bellissima questa esplorazione tra scienza e arte!

    Un bacione anche a te.
    Carla

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  2. Ciao Carla! Sono felice che ti sia piaciuta e benvenuta!

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