martedì 7 aprile 2009

L'importanza dei numeri primi

In matematica si definisce come "numero primo" un numero naturale (intero e positivo) N che ha due soli divisori 1 e N stesso, ad esempio: 2,3 5, 7, …etc; il numero 1 viene di norma escluso (si può anche notare che a parte il 2 i numeri primi sono sempre dispari e non terminano mai con 5).
La teoria dei numeri primi nasce all’incirca nel 300 a.C. ad Alessandria. Euclide fu il primo matematico che si dedicò a questo studio e nella sua opera gli "Elementi" riporta due assiomi fondamentali:
1.esistono infiniti numeri primi
2.ogni numero non primo può scomporsi nel prodotto di più numeri primi e questa scomposizione è unica.

Sempre ad Alessandria, qualche anno dopo, Eratostene trovò un metodo (Crivello di Eratostene) per trovare tutti i numeri primi inferiori ad un dato N. Finora è ancora questo il miglior metodo per generare liste di numeri primi.
Circa 2000 anni dopo, Eulero diede una nuova dimostrazione dell’infinità dei numeri primi, dimostrazione che portò, un secolo più tardi Riemann, ad effettuare una nuova congettura che deve essere, ancora oggi, dimostrata o respinta ("ipotesi di Riemann", sulla quale mi soffermerò in seguito).
Grazie ai computer si sono potuti trovare numeri primi sempre più grandi (vedi precedente articolo: il browser e javascript per risolvere grandi calcoli), ma rimangono dei punti oscuri:
1.non si è trovata ancora una funzione che generi numeri primi;
2.la distribuzione dei numeri primi sembrerebbe casuale, ma molti matematici sostengono che potrebbero esserci delle regole;
ad es. vediamo che:
da 1 a 10 troviamo 5 numeri primi
da 10 a 50 ne troviamo 11
da 50 a 100 10
da 100 a 500 70
da 500 a 1000 73
3.esistono dei numeri primi “gemelli”, come ad esempio 11 e 13, distanziati solo da due posizioni, ma non si sa se la serie dei numeri primi gemelli sia finita o infinita;
4.non c’è nessun test che permetta di stabilire velocemente se un numero è primo o meno;
5.non si conoscono metodi veloci per scomporre un numero in fattori primi.

Ipotesi di Riemann
L’ipotesi di Riemann è una congettura sulla distribuzione degli zeri della funzione zeta di Riemann ζ(s).
Essa fu formulata dal matematico Bernhard Riemann nel 1859.
La verifica di questa ipotesi fa parte dei sette "Millennium Problems" (un milione di dollari di premio al genio che risolva uno di questi problemi).
Stabilire una regola matematica che dimostri se esiste o no una logica nella distribuzione dei numeri primi avrebbe una importante ripercussione nel campo delle applicazioni informatiche odierne. La "crittografia" utilizza sovente chiavi di numeri interi la cui fattorizzazione in numeri primi richiede calcoli troppo complessi e lunghi. Trovare una eventuale distribuzione di tale sequenza renderebbe più facile il conto di fattorizzazione, per cui alla fine si dovrebbero trovare altre tecniche per la sicurezza telematica.
L'andamento della funzione zeta (ed in particolare la distribuzione dei suoi zeri) risulta quindi (attraverso passaggi che non riporto) legato alla distribuzione dei numeri primi immersi nell'insieme dei numeri naturali. In seguito proporrò alcuni problemi legati alla teoria di Riemann e ai numeri primi (si spazia dalla meccanica quantistica alla teoria della relatività generale etc. etc.).
To be continued…..

Fonte: http://it.wikipedia.org

1 commento:

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